3


НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА

4 курс, 8 семестр, 32 часа (лекции, семинары, практические занятия и тесты)


Цель спецкурса состоит в систематическом изложении физических основ нелинейной акустики и основными явлениями, наблюдаемыми при распространении волн конечной амплитуды в однородных и неоднородных сплошных средах. В курсе даются навыки овладения математическим аппаратом современной нелинейной акустики и методами решения задач нелинейной акустики. В частности, рассматривается применение методов нелинейной акустики в задачах излучения звука и неразрушающей диагностики материалов. Овладение материалом курса позволяет студентам изучить основные подходы и приобрести навыки упрощения и решения уравнений нелинейной акустики, применимые в самостоятельной научной работе при решении конкретных задач, связанных с исследованием акустических полей конечной амплитуды в различных средах.



Содержание спецкурса


I. ПРОСТЫЕ (РИМАНОВЫ) ВОЛНЫ В АКУСТИКЕ - 8 ч.

Нелинейная акустика и принцип суперпозиции. Уравнения гидродинамики в представлении Эйлера и Лагранжа. Уравнение Ирншоу, нелинейное волновое уравнение. Методы упрощения нелинейных уравнений. Метод медленно изменяющегося профиля. Уравнение простых (римановых) волн. Введение малого параметра в уравнениях нелинейной акустики. Линеаризация уравнений. Основные нелинейные эффекты в акустике: искажение профиля, генерация гармоник, накопление нелинейных эффектов с расстоянием, образование разрывов и ударных фронтов. Метод характеристик. Решение уравнения простых волн и уравнения переноса. Графический анализ искажений профиля простой волны. Явление волнового резонанса. Резонансное возбуждение акустических волн и стоячие волны конечной амплитуды. Спектр простой волны. Формула Бесселя-Фубини, Спектр произвольного исходного сигнала.

Тест по нелинейным взаимодействиям в простых волнах.

II. ВОЛНЫ С РАЗРЫВАМИ – 4 ч.

Образование разрыва в профиле простой волны. Определение положения и расстояния образования разрыва. Закон сохранения импульса и правило равенства площадей. Уравнение движения разрыва. Абсолютно неупругий характер взаимодействия разрывов. Разрыв в исходном синусоидальном профиле. Пилообразные и N-волны. Величина скачка на фронте слабой ударной волны.



III. ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ В ДИССИПТИВНЫХ СРЕДАХ - 4 ч.

Уравнение Навье-Стокса. Уравнение Бюргерса. Частные точные решения уравнения Бюргерса и методы их получения. Стационарные решения нелинейных уравнений. Понятие об автомодельных решениях. Точное решение уравнения Бюргерса, подстановка Хопфа-Коула. Решение Хохлова. Предельное поведение исходно синусоидального профиля. Решение Фея. Эффект насыщения пиковой амплитуды. Асимптотическое решение уравнения Бюргерса при малой вязкости.

Тест по эволюции волн с разрывами и слабых ударных волн.



IV. СФЕРИЧЕСКИ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ - 2 ч.

Нелинейное волновое уравнение в сферических и цилиндрических координатах. Сходящиеся и расходящиеся волны. Условия образование разрыва. Обобщенное уравнение Бюргерса. Явление двукратного образования ударного фронта.



V. НЕЛИНЕЙНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ПУЧКИ – 4 ч.

Уравнение Хохлова-Заболотской. Сфокусированне гауссовские пучки. Дифференцирование профиля в фокусе. Приближенные решения уравнения Хохлова-Заболотской, нелинейные эффекты в пучках. Основы теории параметрических излучателей и приемников звука.



VI. НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА – 4 ч.

Уравнения эйконала и переноса. Эволюция пилообразной волны. Изотропизация диаграммы направленности нелинейного волнового пучка. Волны конечной амплитуды в неоднородных средах. Тепловая самофокусировка. Нелинейные волны в трубах и рупорах. Сведение к обобщенному уравнению Бюргерса.

Тест по эффектам в нелинейных пучках и волнах в неоднородных средах.



VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ – 2 ч.

Различные типы нелинейности: физическая, геометрическая, структурная, граничная и т.д. «Гигантская» нелинейность жидкости с пузырьками. Модельные задачи нелинейной диагностики материалов. Расчет нелинейных параметров упругого слоя при акустическом облучении. Излучение звука поршнем при конечных смещениях.



VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ В СРЕДАХ СО СЛАБОЙ ДИСПЕРСИЕЙ – 2 ч.

Дисперсия в акустике: волны на поверхности жидкости, понятие о релаксационных процессах. Сильная и слабая дисперсия. Уравнения Кортевега-де-Вриза и Кортевега-де-Вриза-Бюргерса. Решение уравнения Кортевега-де-Вриза методом обратной задачи теории рассеяния.



IX. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УДАРНЫХ ВОЛНАХ В ГИДРОДИНАМИКЕ – 2 ч.

Законы сохранения на разрыве. Ударная адиабата. Изменение энтропии на фронте слабой ударной волны. Задача о сильном взрыве.



Рекомендованная литература:


  1. Руденко О.В., Гурбатов С.Н., Хедберг К.М. Нелинейная акустика в задачах и примерах. М.: Физматлит, 2007.

  2. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.

  3. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1984.

  4. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

  5. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

  6. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн.-- 2-е изд., перераб. и доп.-- М.: Наука, 1990.

  7. Акустика в задачах. Под. ред. С.Н.Гурбатова и О.В.Руденко. М.: Физматлит, 2009.

  8. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Ленинград: Судостроение, 1981.

  9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.


Учебно-методическое обеспечение дисциплины


Рекомендации преподавателю:

Спецкурс направлен на ознакомление студентов с физическими основами распространения акустических волн конечной амплитуды в сплошных средах и на освоение ими математических методов упрощения и решения уравнений нелинейной акустики. Уровень сложности изложения материала должен соответствовать курсам по физике и математике, прослушанным студентами за время обучения на физическом факультете к моменту начала спецкурса: Предполагается знание студентами общей и теоретической физики, математики, особенно теории дифференциальных уравнений и методов математической физики, основ волновой физики и акустики, изложенных ранее в курсах "Теория колебаний", "Теория волн", "Введение в акустику" и "Теоретические основы акустики". Изложение спецкурса происходит в виде лекций. Учитывая направленность курса на освоение математических методов, рекомендуется, кроме лекционного изложения, проведение ряда тестов для проверки освоения студентами материала.


Рекомендации студентам:

Для лучшего усвоения материала использовать, в дополнение к прослушанным лекциям, дополнительную рекомендованную литературу. Предполагается также самостоятельное решение задач, которые даются преподавателем в виде домашнего задания перед письменными тестами.


Программу составил

к.ф.-м.н., научный сотрудник В.А. Гусев