Спецкурс кафедры акустики «Теория возмущений»

(4 курс, весенний семестр, 32 часа)


Цели изучения дисциплины:


Курс представляет собой 14 лекций и 2 контрольные работы. Каждая лекция представляет собой разбор нескольких типовых задач.


Программа курса

- Понятие асимптотического ряда. Сравнение свойств асимптотических и сходящихся функциональных рядов.


- Приближенное вычисление корней алгебраических и трансцендентных уравнений. Особенности асимптотических рядов в случае вырождения корней невозмущенной задачи.


- Асимптотическое вычисление интегралов. Интегралы Лапласа и Фурье, метод стационарной фазы и метод перевала. Приближенное вычисление волновых полей в основных дифракционных задачах. Функция Эйри и интеграл Френеля с точки зрения асимптотических разложений.


- Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений. Классификация особых точек. Характеристическое уравнение. Нерезонансный и резонансный случай для регулярных особых точек. Разложения в окрестности иррегулярных особых точек: численно-удовлетворительные решения, сектора справедливости разложений.


- Анализ размерностей и приведение уравнений к безразмерному виду. Малый параметр как безразмерная комбинация характерных величин задачи. Примеры из гидродинамики и теории упругости.


- Многочастотные возбуждения в колебательных и волновых задачах. Комбинационные частоты. Границы возможностей пертурбативных методов.


- Колебательная система со слабой нелинейностью. Прямое разложение (приближение заданного поля). Метод медленно меняющейся амплитуды и фазы. Метод усреднения. Метод многих масштабов. Сравнение результатов, полученных различными методами.


- Секулярные члены в теории возмущений. Методы устранения секулярных членов. Интерпретация секулярных членов при анализе прямого разложения. Пример - поведение магнитного момента в эллиптически поляризованном магнитном поле.


- Понятие эволюционного уравнения. Стандартный способ вывода эволюционных уравнений для типовых задач теории волн.


- Понятие сингулярно-возмущенной задачи. Примеры сингулярно-возмущенных задач в гидродинамике и теории волн. Сращиваемые асимптотические разложения.


Примерные темы контрольных работ

1. Асимптотическая оценка интегралов. Особые точки дифференциальных уравнений.

2. Метод многих масштабов. Метод сращиваемых асимптотических разложений.


Литература

  1. А.Найфэ. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 535 с.

  2. Ф.Олвер. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. - 528 с.

  3. А.Эрдейи. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962. - 128 c.

  4. Н.Н. Боголюбов, Ю.А.Митропольский. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 504 c.

  5. R. Bellman. Perturbation Techniques in Mathematics, Engineering and Physics, Dover Publications, 2003. - 128 p.


Программу составил доцент А.В.Шанин.

2