3


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

4 курс, 8 семестр, 32 часа (лекции, семинары, практические занятия и тесты)


Цель спецкурса состоит в систематическом изложении базовых методов численного моделирования волновых задач физики, основ спектрального анализа и построения разностных схем для решения основных уравнений акустики, описывающих распространение одномерных волн и эволюцию ограниченных дифрагирующих волновых пучков при учете нелинейных и диссипативных эффектов. Лекционный курс сопровождается занятиями в компьютерном практикуме кафедры и тестами. Овладение материалом курса позволяет студентам приобрести практические навыки применения численных методов для решения конкретных физических задач, использования их в самостоятельной научной работе для обработки экспериментальных данных, проведения численных экспериментов, как вспомогательный инструмент в теоретических исследованиях, а также для использования в последующих специальных курсах на кафедре акустики.



Содержание спецкурса


I. ОСНОВЫ ФУРЬЕ-АНАЛИЗА - 8 ч.

Преобразование Фурье непериодических и периодических функций. Интегралы и ряды Фурье. Функция дискретного аргумента. Сетка, гребневая функция Дирака. Периодичность спектра дискретной функции. Взаимосвязь функции и спектра при дискретизации. Частота Найквиста. Явление наложения частот. Восстановление непрерывной функции по спектру дискретной функции. Теорема Котельникова-Шеннона. Осцилляции Гиббса. Практика дискретного преобразования Фурье: периодизация функции и спектра. Ортогональность гармоник дискретного спектра. Свойства дискретного преобразования Фурье: формулы запаздывания, смещения, свертки, симметрия спектра. Быстрое преобразование Фурье: основная идея, алгоритмы, эффективность. Понятие о Вейвлет преобразовании. Базисные функции, их ортогональность. Цифровая фильтрация. Построение рекурсивного фильтра. Аналогия с резонансной системой.

Практическое задание и тест по дискретному преобразованию Фурье.

Практическое задание и тест по распознаванию двухчастотных сигналов и цифровой фильтрации.



II. РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ – 2 ч.

Погрешность разностной аппроксимации. Оценка погрешности аппроксимации разностных операторов с использованием спектрального подхода и разложения в ряд Тейлора. Общие характеристики разностных схем. Шаблон сетки. Множитель перехода разностной схемы. Сходимость, устойчивость, консервативность, эффективность разностной схемы и ее оценка. Критерии выбора разностной схемы. Явная и неявная разностные схемы.



III. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - 6 ч.

Задача Коши. Методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод с перешагиванием, методы Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности, схема "предиктор-корректор", неявный метод второго порядка точности, экстраполяционные методы Адамса второго и третьего порядка. Условие устойчивости для нарастающих, убывающих и осциллирующих линейных уравнений. Метод прогонки для решения краевых задач.

Практическое задание и тест по разностной аппроксимации дифференциальных операторов интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений.



IV. ЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ - 8 ч.

Уравнение переноса. Схема бегущего счета для уравнения переноса, погрешность аппроксимации, условие устойчивости. Интегрирование по характеристикам. Схемы Лакса и Лакса-Вендроффа, их устойчивость. Условие устойчивости Куранта. Дисперсия и диффузия волн на сетке.

Параболическое уравнение диффузии. Схемы интегрирования: явная, неявная, схема с весами, Кранка-Николсона. Погрешность аппроксимации, условия устойчивости. Спектральное условие устойчивости.

Уравнения параболического типа с мнимым коэффициентом. Дифракция ограниченных звуковых пучков. Двухслойная схема с весами, устойчивость. Спектральный метод. Сеточная дисперсия.

Многомерные уравнения параболического типа. Явная и неявная схемы, продольно-поперечная схема. Порядок точности схем.

Метод расщепления по физическим факторам в решении эволюционных уравнений. Метод исключения Гаусса (метод прогонки) для использования в неявных схемах интегрирования уравнений в частных производных параболического типа.

Практическое задание и тест по решению уравнений эволюционного типа.



V. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ – 4 ч.

Квазилинейные уравнения переноса. Задачи нелинейной акустики, уравнение простых волн. Дивергентная форма уравнения простых волн. Разрывные решения. Псевдовязкость. Построение консервативных схем. Конечно-разностные методы для уравнений с разрывными решениями. Схема Годунова. Учет движения разрывов. Метод расщепления по физическим факторам. Спектральный метод решения нелинейных уравнений с разрывными решениями.



VI. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ – 4 ч.

Волновое уравнение. Природа сеточной дисперсии. Волны в цепочках. Схема типа "крест" и ее устойчивость. Двухслойная акустическая схема для волнового уравнения.



Рекомендованная литература:


1. Н.Н. Калиткин. Численные методы. - М.: Наука, 1978.

2. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes in FORTRAN (Cambridge University Press, New York, 1992), 2nd ed.

3. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. 5-е издание, М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.

4. Д. Поттер. Вычислительные методы в физике. - М.:Мир, 1975.

5. П.Роуч. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980.

6. В.М.Пасконов, В.И.Полежаев, Л.А.Чудов. Численное моделирование процессов тепло - и массообмена - М.: Наука, 1984.

7. С.К.Годунов, В.С.Рябенький. Разностные схемы - М.: Наука, 1973.

8. Г.Дженкинс, Д.Ваттс. Спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1972.

9. С.Л. Марпл, Цифровой спектральный анализ и его приложения - Мир, 1990.

10. Н.М.Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. Успехи Физических Наук, 1996, т.166, №11, стр. 1145-1170.

11. Ч.Чуи. Введение в вэйвлеты – Мир, 2001.


Учебно-методическое обеспечение дисциплины


Рекомендации преподавателю:

Спецкурс направлен на освоение студентами спектральных и разностных методов решения волновых задач акустики. Уровень сложности изложения материала должен соответствовать курсам по физике и математике, прослушанным студентами за время обучения на физическом факультете к моменту начала спецкурса: В частности, предполагается знание студентами методов математической физики и прослушанного ими на 3-ем и 4-ом курсах кафедры спецкурсов «Введение в акустику», «Теоретические основы акустики», «Теория волн». Изложение спецкурса происходит в виде лекций. Учитывая прикладную направленность курса, рекомендуется, кроме лекционного изложения, выполнение студентами практических заданий при этом сочетая построение алгоритмов решения конкретных задач с использованием численных методов с созданием типовых программ или работой с уже имеющимися программами в интерактивном режиме.


Рекомендации студентам:

Для лучшего усвоения материала использовать, в дополнение к прослушанным лекциям, дополнительную рекомендованную литературу. Предполагается также самостоятельное решение задач, которые даются преподавателем в виде домашнего задания перед письменными тестами и практическими работами, выполнение практических заданий в компьютерном практикуме.


Программу составила

д.ф.-м.н., доцент В.А. Хохлова