3


ОБРАТНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ АКУСТИКИ

5 курс, 9 семестр, 36 часов


1. Введение. Постановка обратных волновых задач и некорректность их решения. Голография, рентгеновская томогpафия (теорема о сечениях), ЯМР-томография, локатор с синтезированной апертурой. [1; 2; 3 (гл.1)].


2. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Пространственный спектр функции Грина однородной безграничной среды; поведение его действительной и мнимой частей. [3 (с.28); 4 (с.23-30)].


3. Обратные задачи излучения. Некорректность и неединственность решения обратных задач излучения. Неизлучающие источники и их пространственный спектр. Примеры источников и обсуждение возможности их восстановления. Роль априорной информации. Метод обращения волнового фронта. Метод максимального правдоподобия для решения избыточной системы и решение и минимальной нормой для недостаточной системы. [3 (гл.3)]


4. Обратные задачи рассеяния на акустических неоднородностях. Постановка обратной задачи рассеяния на неоднородностях фазовой скорости звука. Соотношение размерности экспериментальных данных и размерности неизвестных: достаточность и избыточность данных рассеяния в 2-меpном и 3-меpном случаях. Уравнение Липпмана-Швингеpа в координатном -пространстве и -пространстве; экспериментальные данные. [3 (гл.2)]


5. Решение прямой задачи рассеяния. Решение в виде ряда Борна-Неймана; условие сходимости ряда. Решение через обращение операторов; альтернативные формы записи решения. [3 (гл.2.3)]


6. Приближение Борна (приближение однократного рассеяния). Принцип восстановления пространственного спектра борновского рассеивателя при облучении и приеме с разных направлений. Связь доступных значений пространственных частот спектра и размеров восстанавливаемых деталей рассеивателя. Проблема интерполяции при восстановлении функции рассеивателя на основе найденного пространственного спектра. Область применимости борновского приближения. Практические схемы акустической томографии. [3 (гл.4.1)]


7. Учет многократных pассеяний. Итерационные алгоритмы решения обратной задачи рассеяния на основе уравнений Липпмана-Швингеpа; область сходимости алгоритмов:

7.1. Общие статистические методы решения. [3 (гл.5.2, 5.3); 5]

7.2. Простые итерационные схемы решения для рассеивателей средней силы: двухшаговая схема; одношаговая схема; одношаговая схема в виде усреднения грубых оценок рассеивателя. [3 (гл.6); 6]

7.3. Схемы решения для сильных рассеивателей: итерационно-градиентные схемы без взвешивания поправок и со взвешенными поправками; метод постепенного включения перерассеяний; метод постепенного включения рассеянного поля. [3 (гл.7); 6]


8. Общие вопросы дискретизации. Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона. Сопряженная теорема отсчетов. Теорема Слепяна. Дискретизация задачи в - и -пространствах в соответствии с характерными параметрами pассеивателя, внутренних полей, вторичных источников. [3 (гл.5.1)]


9. Расширение пространственного спектра вторичных источников при учете процессов перерассеяния. Статистическая оценка ширины пространственного спектра вторичных источников. [7]


10. Конечномерная дискретизация в обратной задаче рассеяния. Выбор базисных функций. Схемы решения дискретизованной задачи в случае слабого рассеивателя и при учете процессов перерассеяния. [3 (гл. 5.1); 8]


11. Комплексный характер проблемы решения обратной задачи рассеяния томогpафического типа, с точки зрения влияния объема экспериментальных данных на единственность и устойчивость решения. Причина возможной неединственности восстановления рассеивателей в дискpетизованной задаче. Условия единственности и устойчивости решения. Неединственность решения безызбыточной задачи. Роль избыточности данных для обеспечения единственности; аномальные ошибки. Ограничения на ширину пространственного спектра вторичных источников при восстановлении пространственно-распределенных двумерных и трехмерных рассеивателей. [8]


12. Функциональные методы в обратных задачах рассеяния. Изоэнергетическое пространство комплексных волновых векторов. Взаимосвязь действительной и мнимой частей волновых векторов. Обобщенные функции Грина-Фаддеева, обобщенные волновые поля и амплитуда рассеяния. Структура и особенности (учет многократных рассеяний, линейность относительно неизвестных) алгоритма Новикова-Гриневича. [9; 10 (с.93-107 и Приложение); 11]


13. Обратные задачи для pассеивателей с граничными условиями I и II pода. Метод решения путем продления поля; метод на основе приближения Кирхгофа; параметрическое описание границы; функциональный метод при описании формы границы характеристической функцией. [3 (гл. 8.2, 8.3)]


ЛИТЕРАТУРА

1. Физика визуализации изображений в медицине. Под ред. С.Уэбба. М.: Мир, 1991. Т.1, 2.

2. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии // М.: Мир, 1990.

3. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989. С.152.

4. Крылов В.В. Основы теории излучения и рассеяния звука. М.: Изд-во МГУ, 1989. 118с.

5. Буров В.А., Касаткина Е.Е., Румянцева О.Д., Сухов Е.Г. Обратная задача статистического оценивания характеристик рассеивателя и модельные примеры ее решения // Акуст. журн. 2003, т.49, №3, с.348-358.

6. Буpов В.А., Румянцева О.Д., Сасковец А.В. Акустическая томография и дефектоскопия как обратные задачи рассеяния // Вестник МГУ. Сеp.3, Физика. Астpономия. 1994, т.35, N 6, с. 61-71.

7. Буров В.А., Вечерин С.Н,. Румянцева О.Д. Статистическая оценка пространственного спектра вторичных источников // Акуст. журн. 2004, т.50, №1, с.14-25.

8. Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния // Акуст. журн. 2003. Т. 49. №5. С.590-603.

9. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния II // Сб.: Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ. 1974. Т.3. С.93-180.

10. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. -уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния // Успехи математических наук. 1987. Т.42. Вып.3(255). С.93-152.

11. Буров В.А., С.Н. Вечерин, С.А. Морозов, О.Д. Румянцева. Моделирование точного решения обратной задачи акустического рассеяния функциональными методами // Акуст. журн. 2010. Т.56. N4.

Примерные вопросы к зачету (экзамену)

Роль функции Грина и особенности поведения ее пространственного спектра.

Окружность (сфера) Эвальда.

Неединственность решения обратных задач излучения; неизлучающие источники и их пространственный спектр.

Роль априорной информации для обеспечения решения обратной задачи излучения.

Метод обращения волнового фронта.

Отличие обратной задачи рассеяния от обратной задачи излучения.

Соотношение размерности экспериментальных данных и размерности неизвестных: достаточность и избыточность данных рассеяния в 2-меpном и 3-меpном случаях.

Условие сходимости ряда Борна-Неймана.

Принцип восстановления пространственного спектра борновского рассеивателя при облучении и приеме с разных направлений.

Практические схемы акустической томографии.

Итерационные алгоритмы решения обратной задачи рассеяния на основе уравнений Липпмана-Швингеpа; область сходимости алгоритмов.

Особенности дискретизации обратной задачи в - и -пространствах в соответствии с характерными параметрами pассеивателя, внутренних полей, вторичных источников.

Расширение пространственного спектра вторичных источников при учете процессов перерассеяния.

Влияние объема экспериментальных данных на единственность и устойчивость решения обратной задачи рассеяния томогpафического типа.

Условия единственности и устойчивости решения.

Аномальные ошибки.

Ограничения на ширину пространственного спектра вторичных источников при восстановлении пространственно-распределенных двумерных и трехмерных рассеивателей.



Программу составили:

д.ф.м.н., профессор В.А.Буров,

к.ф.м.н., ст. преподаватель О.Д.Румянцева